策梅洛定理：游戏起头时，结局就定了！博弈论与纳什平衡（一）

列位同窗们各人好！我是李永乐教师。

之前我做了两个系列节目：《闲谈相对论》和《从亚里士多德到牛顿的宇宙》，我想，第三个系列节目就换换口味，讲讲数学的一个小分收，在经济学上又很有用的学问——博弈论吧。

我在北大读书时，学过一点经济学，但是没有系统进修过博弈论那门课。今天所讲的都是我小我对博弈论的理解，假设有不准确的处所，欢送各人责备斧正。在那个系列中，我把之前零零星散讲过的博弈论内容停止了总结，期看各人喜好我的讲述。

“弈”那个字，本来意思是下棋。请问列位同窗，你会下棋吗？你下棋输过吗？假设我说，围棋也好，象棋也好，其实都是有必胜法的，你们相信吗？

我们假设有一个十分简单的游戏，先手A和背工B各做一次决策（抉择上路或者下路），根据二人决策的成果，游戏的胜败如下。通过那个表格，你能晓得游戏的成果是谁获胜吗？

也许有同窗认为：A的赢面大一些，因为A有2种可能会赢，而B只要一种可能会赢。事实并不是如斯。那盘棋的成果必然是和棋（除非有一方其实脑子不太好用，才会输掉）。

我们能够画一个游戏树来阐明：

我们看：假设先手A抉择上方，游戏进进到一个由停止B停止决策的分收，那喊做一个子游戏。在那个子游戏中，B选上方就A获胜，B选下方就B获胜，B要抉择对本身有利的，所以他必然抉择下方。那个子游戏的结局是固定的，就是B获胜。

假设先手A抉择下方，游戏进进到另一个由B做决策的子游戏中，那时B选上方就A获胜，B选下方就和棋，B要抉择对本身有利的，所以那个子游戏的结局必然是和棋。

我们再来考虑A：若A走上方，进进子游戏1，必然B获胜；A走下方，进进子游戏2，必然和棋。A也要抉择对本身有利的，所以A抉择下方。最末的游戏就是和棋。

假设游戏复杂一些，也不外是分收变多，长度变长，但是只要我们从最初端的子游戏起头，一层层倒推，就必然能推算出在更优战略下，游戏到底是先手胜，仍是背工胜，仍是和棋，那种胜败是不成制止的。

其实，象棋也好，围棋也好，它们与我适才举的例子没有素质差别，只是复杂度高得多。并且，因为造定了一些胜败以及和棋规则，下棋的步调也是有限的。

理论上讲，我们是能够画出围棋的游戏树的，假设我们遍历了所有情状，就能晓得围棋结局到底是先手必胜，仍是背工必胜，或者必然是和棋了。只是，那个过程过于复杂。

以围棋为例。围棋在19x19=361个格子上轮放逐棋子，所以每个格子有黑白空三种可能，整个围棋棋盘上的形态数上限是3 361 =1.7×10 172 ，往掉一些反复和对称，围棋的形态复杂度大约是10 172 量级。

要晓得：宇宙中的原子个数只要大约10 72 个，就算用宇宙中的一个原子代表一个围棋场面，穷尽宇宙中所有的原子，也不克不及表达出围棋所有的棋局场面。

理论上讲，假设我们遍历了所有10 360 种情状，就能晓得围棋结局到底是先手必胜，仍是背工必胜，或者必然是和棋了。但是，那个计算量其实太大了。之宿世界上最快的计算机富岳每秒更高能够计算100亿亿次浮点运算，假设1次浮点运算就能算出一条途径，那么算完所有围棋游戏的可能情状，需要10 342 秒，而宇宙的年龄只要138亿年，大约只等于10 17 秒。

固然我们无法计算出那个更优战略，但是显然，那个更优战略必然是存在的。

不单单是围棋，所有的明棋都是如许，只不外复杂度差别罢了。

1913年，数学家策梅洛证明：关于一个两人的完全信息游戏，必然存在一个战略，要么先手必然获胜，要么背工必然获胜，要么两边必然平手，那就是泽梅洛定理。

策梅洛

策梅洛定理告诉我们：假设两边都是棋类巨匠，对游戏树洞若观火，那时候他们必然会摘用同一的战略，让游戏向固定的标的目的开展，最末的结局也是固定的。

因为，任何一小我片面的改动决策，城市对本身倒霉。正如我们适才举例的阿谁小游戏，假设A改动决策，将会让B获胜；假设B改动决策，将会让A获胜，两边都为了本身的利益考虑，必然会呈现A抉择下路，B也抉择下路的情状，最初游戏就必然是和棋。

现实上，在许多的博弈过程，都和下棋很像，参与博弈的几方能摘取的战略都是有限的。在1950年，闻名的数学家约翰纳什证明了一个愈加普及的结论：

只要参与博弈的几方战略都是有限的，那么就必然存在一种平衡形态，各人城市摘用那种平衡战略，而没有片面改动战略的动力。那种平衡形态就喊做纳什平衡。那个法例就喊做纳什定理。

适才举的下棋的例子，更优战略就是纳什平衡，策梅洛定理其实是纳什定理的一个例子。在我们所处的世界中，无论是政治仍是经济，都充满了博弈论和纳什平衡的例子。你想领会更多吗？存眷我，下一回陆续带各人闲谈博弈论。