选自quantamagazine
做者：Jordana Cepelewicz
机器之心编译
机器之心编纂部
数学史上每一个打破都需要扎实的根底工做。
公元前三世纪，阿基米德提出一个关于放牧牛群的谜题，并声称只要实正伶俐的人才气解开。他的问题最末回结为一个涉及两个平方项之差的方程，即 x^2 – dy^2 = 1。此中，d 是一个整数（可能是正整数或负整数），而阿基米德提出的问题要求解 x 和 y 也是整数。
那类方程被称为佩尔方程，几千年来不断让数学家们沉迷。
在阿基米德之后几个世纪，印度数学家 Brahmagupta 和后来的数学家 Bhāskara II 创造了找出那类方程整数解的算法。在 1600 年代中期，法国数学家 Pierre de Fermat 发如今某些情状下，即便为 d 分配了一个相对较小的值，x 和 y 的最小整数解可能很大。例如方程 x^2 – 61y^2 = 1 的最小整数解为 9 位或 10 位。而 d 值较大时，如要打印出 x^2 – 4729494y^2 = 1 的最小整数解需要 50 页。
佩尔方程的解用途有良多，例如通过求解佩尔方程， √2（一个无理数）能够近似为两个整数的比值，即 x/y 的形式。
更有趣的是，佩尔方程的解还与特定命字系统——「环」相关。在环中，√2 可能会与整数相邻。事实证明，佩尔方程能够搀扶帮助数学家领会环的特征。
因而，许多十分闻名的数学家都研究了佩尔方程，包罗费马、欧拉、拉格朗日和狄利克雷。如今，来自蒙特利尔康考迪亚大学的数学家 Peter Koymans 和 Carlo Pagano 证明一个几十年前的料想与佩尔方程相关，该方程量化了某种形式的方程具有整数解的频次。他们的研究还用到了群论的思惟。
Peter Koymans
下面我们根据办法类型，领会一下数学家们为处理佩尔方程别离做出的勤奋。
纯朴的算术办法
20 世纪 90 年代初期，荷兰莱顿大学的数学家 Peter Stevenhagen 料想佩尔方程能够利用群论来揣度方程整数解的间隔。如今 Stevenhagen 骇怪地说：「我没想到那个料想那么快就被证明了。」
Stevenhagen 的料想依靠于环的一个特定特征。例如，在整数中添加了 √−5 的数字环中（数学家经常利用像 √−5 如许的「虚数」），有两种差别的办法能够将数字拆分为其素因数。例如，数字 6 不只能够写成 2 × 3，还能够写成 (1 +√−5) × (1 –√−5)。成果，在那个环中，算术根本定理（即正整数的独一合成定理）就不成立了。那种情状被编码在与该环联系关系的对象中，称为类群（class group）。
数学家深进领会他们感兴致的数字系统的一种办法就是计算和研究其类群。然而，很难确定类群在差别数字系统中的规则。
20 世纪 80 年代，数学家 Henri Cohen 和 Hendrik Lenstra 就那些规则应该是什么样的提出一系列关于类群的普遍料想，被称为「Cohen-Lenstra heuristics」，反过来也显示了数字系统的属性。
虽然良多计算似乎撑持 Cohen-Lenstra 料想，但那仍然只是料想，而不是证明。
有趣的是，一个类群的典型行为与佩尔方程的行为密不成分。理解一个问题有助于理解另一个问题——以致于 Stevenhagen 的料想「关于 Cohen-Lenstra 启发式算法获得的任何停顿来说也是一个查验问题」，Pagano 说道。
新工做涉及负佩尔方程，此中 x^2 – dy^2 设置为等于 -1 而不是 1。原始 Pell 方程关于任何 d 值老是有无限数量的整数解，但并不是所有 d 值的负佩尔方程都有解。以 x^2 – 3y^2 = -1 为例，就是一个无解的方程，即便 x^2 – 3y^2 = 1 有无限多的解。
现实上，有良多 d 值使得负佩尔方程无解，例如 d 是 3、7、11、15 时均无解。但是，即便您制止了那些 d 值并仅考虑剩余的负佩尔方程，也其实不老是可以找到处理计划。
1993 年，Stevenhagen 提出了一个公式，认为在可能有解的 d 值（即不是 3、7 等的倍数的值）中，他揣测大约 58% 会产生具有整数解的负佩尔方程。Koymans 和 Pagano 在 30 年后证明了 Stevenhagen 的料想。
更优的办法
2010 年，一篇颁发在《Annals of Mathematics》上的论文表白适用于负佩尔方程的 d 值的比例在必然范畴内。为此，论文做者 Étienne Fouvry 和 Jürgen Klüners 掌握了相关类群的某些元素的行为，并需要领会更多元素，才气领会 Stevenhagen 更切确的 58% 估量。不幸的是，有些元素仍然难以理解：仍然需要新的办法来理解它们的构造，几乎不成能有进一步的停顿。
2010 年颁发于《Annals of Mathematics》的论文，论文地址：
2017 年 Koymans 和 Pagano 一路在莱顿大学读研究生时，一篇论文的呈现改动了一切。「其时我就意识到那将是处理佩尔方程的重要东西」，Koymans 说道。
论文地址：
那篇论文的做者是哈佛大学的研究生 Alexander Smith，他如今是斯坦福大学的 Clay fellow。Smith 不断在探究椭圆曲线方程解的性量。在研究那个问题的过程中，他验证了 Cohen-Lenstra 料想的特定部门，而且刚好涉及 Koymans 和 Pagano 的工做中关于类群的部门。
然而，Koymans 和 Pagano 不克不及简单地间接利用 Smith 的办法。Smith 的证明涉及与数字环相关的类群，在环中 √d 与整数相邻。Smith 考虑了 d 的所有可能整数值，而 Koymans 和 Pagano 只考虑了那些 d 值的一小部门。
Koymans 和 Pagano 需要根据问题对 Smith 的办法做出多个调整和修改。此外，他们不只需要描述一个类群，并且需要描述两个差别类群之间存在的差别，那也是他们证明 Stevenhagen 料想的次要部门。
Carlo Pagano
Koymans 和 Pagano 十分认真地梳理了 Smith 的论文，Smith 其时也在不竭完美那篇论文，屡次做出了需要的更正。Koymans 和 Pagano 一路逐行进修了那个 Smith 的证明办法，过程漫长枯燥，但稳步向前。末于在一年后，Koymans 和 Pagano 找到了需要测验考试新办法的处所。
为了成立恰当水平的随机性，Koymans 和 Pagano 证明了一组称为互反律（reciprocity law）的复杂定理，那使得他们可以掌握两个类群之间的差别。
那一关键打破让他们末于在本年早些时候完成了 Stevenhagen 料想的证明。
五年前，Smith 证明了 Cohen-Lenstra 料想的一部门，被认为是翻开了许多问题的大门。如今，Koymans 和 Pagano 证明了 Stevenhagen 料想。Smith 对此表达：「他们的工做让我感应骇怪，固然此中包罗了我的部门办法，但他们把那种办法用于我不领会的标的目的，让研究向前迈了一步。」
格拉斯哥大学的数学家 Alex Bartel 评判称：「Smith 告诉我们若何造造锯子和锤子，我们如今要做的就是让它们尽可能尖利，尽可能安稳，尽可能适应差别的情状，Koymans 和 Pagano 的工做就是朝着那个标的目的前进了一大步。」
固然 Cohen-Lenstra 料想的其余部门仍然远不成及，但 Koymans 和 Pagano 的工做表白我们已经找到了向前推进的办法。
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