3Cn1+7Cn2+11Cn3+ +(4n-1)Cnn等于几

2天前 (12-12 08:56)阅读1回复0
东乐
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原式=4(Cn1+2Cn2+3Cn3+.....+nCnn)-(Cn1+Cn2+....+Cnn)

( mCnm=nC(n-1)(m-1) )

=4n( C(n-1)0+C(n-1)1+C(n-1)2+.....+C(n-1)(n-1) )-(Cn0+ Cn1+Cn2+....+Cnn-Cn0)

=4n*2^(n-1) - 2^n + 1

=(2n-1)*2^n + 1

以上几位的谜底能否复杂了,设法是不错的。可要再加油哟!

令S=-cn0+3Cn1+7Cn2+11Cn3+…+(4n-1)Cnn

S=(4n-1)Cnn+…+11Cn3+7Cn2+3Cn1+-cn0

两者相加得2S=(4n-2)[Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn]=(4n-2)*2^n

求的式子=S+1=(2n-1)*2^n+1

即3Cn1+7Cn2+11Cn3+…+(4n-1)Cnn=(2n-1)*2^n+1

那种标题问题牵扯二项式天然用倒序相加,那种标题问题为典范标题问题,值得积存。

解:令S=3Cn1+7Cn2+11Cn3+…+(4n-1)Cnn

......=-Cn0+3Cn1+7Cn2+11Cn3+…+(4n-1)Cnn+1

∴2S= -Cn0+3Cn1+7Cn2+11Cn3+…+(4n-1)Cnn+1

.....+(4n-1)Cnn+(4n-5)Cn(n-1)+…+7Cn2+3Cn1-Cn0+1

∵Cnr=Cn(n-r) (r≤n)

∴2S=(4n-2)Cn0+(4n-2)Cn1+(4n-2)Cn2…+(4n-2)Cnn+2

....=(4n-2)[Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn]+2

....=(4n-2)*2^n+2

∴S=(2n-1)*2^n+1=n*2^(n+1)-2^n+1

即3Cn1+7Cn2+11Cn3+…+(4n-1)Cnn=n*2^(n+1)-2^n+1

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