我们想把平曲空间的向量阐发公式推广到“弯曲空间”上去。详细地说，是把欧式空间 RnR^{n} 中的向量阐发公式推广到黎曼流形 MnM^{n} 中。
先回忆一下欧式空间向量阐发公式：
令 F=u⋅▽vF=u\cdot▽v ，由多变量微积分的Gauss散度公式 ，∫Ω▽⋅(u▽v)dV=∫∂Ω(u▽v)⋅ndS\int_{\Omega}^{}▽\cdot(u▽v)dV=\int_{\partial\Omega}^{}(u▽v)\cdot ndS ，间接计算 ▽⋅(u▽v)=uΔv+▽u▽v▽\cdot (u▽v)=u\Delta v+▽u▽v ，于是得到我们在向量阐发中认识的老伴侣，
Green第一公式： ∫ΩuΔvdV=∫∂Ωu∂v∂ndS−∫Ω▽u▽vdV\int_{\Omega}^{}u\Delta vdV=\int_{\partial\Omega}^{}u\frac{\partial v}{\partial n}dS-\int_{\Omega}^{}▽u▽vdV
互换 u,vu,v 位置，相减，我们得到Green第二公式： ∫Ω(uΔv−vΔu)dV=∫∂Ω(u∂v∂n−v∂u∂n)dS\int_{\Omega}^{}(u\Delta v-v\Delta u)dV=\int_{\partial\Omega}^{}(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n})dS 。
以上那些内容都是我们在向量阐发/数学物理方程中学过的。
有趣的是在黎曼流形上我们也有Gauss散度公式： ∫M(divX)Ω=−∫∂Mg(n,X)Ω∂M\int_{M}^{}( divX)\Omega=-\int_{\partial M}^{}g(n,X)\Omega_{\partial M}
此中 Ω\Omega 代表体元， gg 是黎曼度量。
【PS：那个流形上的Gauss公式的证明依靠的是流形上的微积分根本定理（Stokes公式） ∫∂Mw=∫Mdw\int_{\partial M }^{}w=\int_{M}^{}dw 。】
完全类比欧式空间的推导过程，令向量场 X=h▽fX=h▽f ，那么 div(X)=g(▽h,▽f)+hΔfdiv(X)=g(▽h,▽f)+h\Delta f
同时 g(n,X)=g(n,h▽f)=hg(n,▽f)=hn(f)g(n,X)=g(n,h▽f)=hg(n,▽f)=hn(f)
积分： ∫Mg(▽h,▽f)dVm+∫MhΔfdVm=−∫∂Mhn(f)dV∂M\int_{M}^{}g(▽h,▽f)dV_{m}+\int_{M}^{}h\Delta fdV_{m}=-\int_{\partial M}^{}hn(f)dV_{\partial M} （那一步是由Gauss散度公式）
同样的操做：互换位置，相减，我们得到：
∫M(hΔf−fΔh)dVM=∫∂M(fn(h)−hn(f))dV∂M\int_{M}^{}(h\Delta f-f\Delta h)dV_{M}=\int_{\partial M}^{}(fn(h)-hn(f))dV_{\partial M} （弯曲空间上的Green第二公式）
我把平曲空间的Green第二公式搬下来比对一下，你会发现那就是赤裸裸的平行推广。
∫Ω(uΔv−vΔu)dV=∫∂Ω(u∂v∂n−v∂u∂n)dS\int_{\Omega}^{}(u\Delta v-v\Delta u)dV=\int_{\partial\Omega}^{}(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n})dS （平曲空间的Green第二公式）