一、定义
若是一个数x可以被写成p/q形式，此中p和q是整数，且q≠0，那个数x被称为是“有理数rational number”。
从定义中能够看出，有理数就是能被写成分数且分母不是0的数。如3、-5、1/8、-3/4、0等都是有理数。
全体有理数构成有理数集，用符号Q暗示。
有理数集Q很难用“清单形式”写出来，只能用“构造式”来表达：
Q = { x | x = p/q, p∈Z, q∈Z, q ≠ 0 }，此中Z是整数集。
二、特征：有理数具备3大特征，即无限性、有序性和浓密性。
无限性：有理数集Q是无限的，此中有无限多个元素。
有序性：给定肆意两个差别的有理数a和b，总能够确定那一个大，那一个小。并且，若是b>a，c>b，则c>a。
浓密性：有理数处处浓密，也就是说在肆意两个差别的有理数a和b（a < c）之间，老是存在至少一个有理数c（a < c < b）。从而，在肆意两个差别的有理数之间，存在着无限多个其它的有理数。
例1：若何证明有理数的浓密性？设：a和b都是有理数，且a < b；
取a和b的均匀值c，c = (a + b )/2。因为a和b都是有理数，所以c也必然是有理数，且 a < c < b；
取a和c的均匀值d，同上能够得出a < d < c；
如斯类推，能够证明a和b之间存在着无限多隔有理数；
所以，有理数是处处浓密的。
三、整数与运算律： 1、封锁性（Closure Property）对加法、减法、乘法和除法运算，有理数数遵守封锁性：两个或多个有理数之和必然也是有理数数；两个或多个有理数数之差也必然是有理数数；两个或多个有理数之积必然也是有理数；两个有理数相除，若是除数非0，成果必然是有理数。
除数为0是什么成果？需要指出的是，若是除数为0，除法运算无意义，得不到任何成果。
有时把除数为0的除法成果称为无限大，即a/0 = ∞，但那其实不意味着那一运算有意义。∞ 只是一个符号，其意义是当除数趋于0而被除数非0时，商的绝对值能够大于任何有限的实数（包罗有理数和无理数）。
2、连系性（Associative Property）：对加法和乘法运算，有理数遵守连系性：
a+(b+c)=(a+b)+c
ax( bxc ) = ( axb ) x c
对减法和除法运算，有理数不遵守连系性：
(b-c)≠(a-b)-ca÷(b÷c)≠(a÷b)÷c
3、交换性（Commutative Property）：对加法和乘法运算，有理数遵守交换性：
x + y = y + x
a x b = b x a
对减法和除法运算，有理数不遵守交换性：
x-y ≠ y-x
a÷b ≠ b÷a
4、分配性（Distributive Property）：对加法运算，有理数遵守乘法分配性：
ax(b+c) = ab+ac
对减法运算，有理数遵守乘法分配性：
ax(b-c) = ab-ac
有理数加法乘法减法除法交换性a + b = b + aa × b = b × aa – b ≠ b – aa ÷ b ≠ b ÷ a连系性a+(b+c)=(a+b)+ca×(b×c)=(a×b)×c(a–b)–c ≠ a–(b–c)(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)单元元a + 0 = a = 0 + aa × 1 = a = 1 × aa – 0 = a ≠ 0 – aa ÷ 1 = a ≠ 1 ÷ a封锁性a + b ∈ Qa × b ∈ Qa – b ∈ Qa ÷ b ∈Q，b≠0分配性a × (b + c) = a × b + a × ca × (b − c) = a × b − a × c四、需要进一步思虑的问题：从有理数的定义能够得出，所有的有理数都能够写成分数p/q，q ≠ 0 的形式。而分数能够写成有限的十进位小数或无限轮回的十进位小数，即：
3/4=0.75，有限的十进位小数。
1/3=0.333333.....，无限轮回的十进位小数。
有理数也能够写成一个有限的连分数（Continued Fraction），连分数是一种特殊的繁分数。
从有理数能够引出分数、连分数、繁分数的概念。