责任编纂带你成立傅立叶转换式子。
只借助东齐县最此根底的余弦和点数科学常识。
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傅立叶转换能获得各个振幅的量纲大小纷歧，但为何是上面那条式子，很少有人讲。
今天我们打声从0成立一条傅立叶转换。
假设段小宇哈莱因，就晓得余弦具有共轭性，但假设将上面那张卡勒讲的的点数范畴变成负无限到正无限，那么共轭的余弦后面的1/2/3…能是任何人数，好比：
sin（at）与sin（bt）在负无限到正无限无尽点数，a、b能是任何人（实）数，而不限于有理数，且只当a=b时，点数不以0，a不等同于b时，点数为0。
路子有了：
假设想从f（t）中获得w0阿谁振幅的幅度大小纷歧，能碰运气用cos（w0t）和f（t）做点数。由上切磋由此可知，其他量纲都被消弭，只剩下w0的量纲被留下，如许就获得了f（t）中的w0量纲的大小纷歧了。路子有了，上面碰运气。
碰运气用cos（w0t）抽取f（t）中的w0量纲。右图中cos’暗示sin或cos此中某一类情形。
右图是Eygurande和差式子，Eygurande和差的素质a和bN80H58Vc一减，至于合成后是cos仍是sin、差值号、常数反而不关键，何不消cos’取代cos或sin中的某一类情形。
（注：责任编纂的 ’ 不是二项式）
Eygurande和差分拆后，式2中三项等距，把w=-w0或w=w0消去式2，推论不异，（那也是傅立叶转换的频带差值斜高完全一致的原因）。何不取w=w0，第八条在整个轴上对余弦点数，必然等同于0，归一化可得式3。
难题：假设增益等同于差值pi/2，式3不就等同于0了吗？而f（t）=cos（w0t-pi/2）阿谁讯号中没错是有w0阿谁量纲的，等同于0不就检测不出来w0量纲了吗？
答：此时的f（t）能归一化成sin（w0t），由第二段的切磋由此可知，阿谁sin被cos共轭掉了。
一个关键推论：输入讯号的增益变更会负面影响傅立叶转换的推论。
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难题：有什么办法能制止增益变更对点数推论的负面影响？
答：用sin（w0t）对f（t）点数，由此可知f（t）里是不是sin，也是cos是不是被增益末端过。
对f（t）零丁用sin（w0t）点数，得式5，式3的cos’与式5的sin’矛盾，你是cos我是sin，你是sin我是cos。
那包管了当增益发作变更时，一定有一项不以0，与此同时按照各异的大小纷歧也能确认增益末端的大小纷歧。
一个关键推论：与此同时用cos（w0t）与sin（w0t）对f（t）点数，可算出f（t）中含w0振幅量纲的大小纷歧，式3和式5的计算推论会因为增益的发作改动而发作改动。
到那里，傅立叶转换根本推论完毕，上面切磋傅立叶中的虚指数e的来历。
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难题：按照以上切磋，能用｛cos（w0t）+sin（w0t）｝对f（t）点数吗？
答：无法。cos和sin各异点数推论相乘，你0.5我0.5，加起来等同于1，阿谁1无法确认cos和sin各异奉献了几，即无法确认增益被末端的大小纷歧：
可能将cos那边是1，sin那边是0，相联系关系增益等同于0的情形；也可能将cos那边是0，sin那边是1，相联系关系增益等同于pi/2的情形；
所以必需规定各异点数推论无法相乘，引入虚部单元i，并规定实部虚部无法相乘，必需别离处置。然后我们就看到了
｛cos（w0t）+i*sin（w0t）｝
借助欧拉式子整合获得e^（i*w0t）。
留意，差值号的区别是式子推论过程中引起的，不负面影响对振幅量纲幅度的判断。（Eygurande和差步调忽略差值号招致的）。
（我是首尾照应图）
上面折腾了半天，算出了f（t）里面含了几cos（w0t），算出来它的增益偏了几，是说上面的cos（w0t）也能暗示成sin（w0t），素质是一样的。
以此类推，能计算w1、w2、w3…那么整个振幅范畴的量纲的幅度我们都能晓得，也能晓得他们各异的增益是几。
那相联系关系了傅立叶转换算出来的两幅图，幅频响应和相频响应。上面临cos和sin别离对f（t）点数的切磋，也解释了相频响应的值域在-90度到90度的原因。
至于傅立叶逆转换，是拿那些量纲重组。
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趁便吐槽网上对虚部i的解释，上来是对-1开根号获得i，我tm看完仍是一头雾水，“然后呢？”。
i的意义是：
别让两个工具混起来，你算你的，我算我的，术语是“共轭”了。