定义
完全平方公式是指在二次函数的一元二次方程中，通过配 *** 将一元二次方程化为完全平方的形式，然后使用完全平方公式求解得到方程的解。
完全平方公式的一般形式为：
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，当 $b^2-4ac \ge 0$ 时，可以通过完全平方公式求解得到方程的两个解：
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
其中 $\sqrt{b^2-4ac}$ 部分就是完全平方公式的应用。
使用 ***
完全平方公式的应用需要使用到配 *** ，即通过加减同类项、移项、提取公因数等运算，将一元二次方程化为完全平方的形式 $（ax^2+bx+c）= (mx+n)^2$。具体步骤如下：
1. 将一元二次方程形式改写为 $ax^2+bx+c+d=0$，即将常数项移到等式左边并设为 $d$。
2. 对 $ax^2+bx+c$ 部分进行配 *** ，即将 $ax^2$ 部分倍乘 $\frac{1}{a}$ 后加上 $\frac{b^2}{4a^2}$ 并减去 $\frac{b^2}{4a^2}$，化简得到：
$ax^2+bx+c=\frac{1}{a}(ax+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$
3. 将右侧简化后的结果与常数项 $d$ 组合，得到完整的完全平方形式：
$(ax+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}-d$
4. 对上式进行平方根运算得到解：
$ax+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}-d}$
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac-4ad}}{2a}$
示例
假设有一元二次方程 $2x^2+3x+1=0$，根据完全平方公式，我们可以先将其变形为：
$2x^2+3x+1=(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{3}{4\sqrt{2}})^2-\frac{1}{8}$
再通过求解得到其两个解：
$x=\frac{-3 \pm \sqrt{3}}{4}$
可以发现，通过应用完全平方公式，我们可以简化二次函数的求解过程，并且可以避免使用复杂的求根公式。