定义
三垂线定理是指在一个三角形ABC中，从顶点A、B、C分别向对边BC、AC、AB作垂线，分别交于D、E、F三点，则这三条垂线交于一点H。同时，H点到三角形三边的垂线长度分别相等。
证明
为了说明三垂线定理，我们可以利用向量来进行证明。假设向量AB=a、向量AC=b，然后设垂线AD=h，那么有向量HD=-h、向量BD=c，向量CD=d。因为向量AD=h，所以向量AH=h+a/2+b/2。因此，向量HD=向量AH-向量AD=h+a/2+b/2-h=(a+b)/2。又因为AD垂直于BC，所以向量AD·向量BD=0，即(h+a/2+b/2)·c=0，从而h=-ac/(b+c)。同理，因为向量AF垂直于BC，所以向量AF·向量BD=0，即(h+a/2-b/2)·c=0，从而h=ac/(b-c)。由此可以推出，ac/(b+c)=ac/(b-c)，即b+c=b-c，所以c=0。因此，H点在BC边上。
同理，可以证明H点也分别在AB、AC边上。又因为三角形的垂线长度相等，所以H点是三角形的垂心。证毕。
应用
三垂线定理是几何学中的基本定理之一，不仅可以用于证明几何问题，还可以用于解决计算几何问题，例如求三角形各顶点到垂心的距离、求三垂心连线之间的关系等。此外，它还有一些衍生定理，例如正弦定理、余弦定理、内心、外心、垂心三点共线等。
总结
三垂线定理是解决几何问题的重要定理，它不仅具有理论价值，还有广泛的应用价值。通过理解三垂线定理，我们可以更好地理解几何学的其他基本概念和定理，提高自己的几何素养。
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