角平分线的性质有哪些？——详解角平分线的定义、性质及相关公式

在初中数学中，我们学习了许多与角度有关的知识点，而角平分线的性质则是其中十分重要的一项。角平分线是指将一个角的两条相邻边分别平分的线段，显然这些线段相交于角的顶点，下面我们就来详细了解一个角平分线的定义、性质及相关公式。

1. 角平分线的定义

角平分线是指将一个角的两条相邻边分别平分的线段，它们相交于角的顶点，如下图所示：

其中，AM和BN就是角ABC的两条平分线，它们相交于O点，即角ABC的顶点。

2. 角平分线的性质

（1）角平分线相交于角的顶点

由角平分线的定义可知，两条平分线均起始于角的顶点，因此它们必然会相交于该点。

（2）相交于角顶点的角平分线相等

如下图所示，两条角平分线AM和BN相交于顶点O，可以证明AO=BO，即相交于角顶点的两条角平分线相等。

证明：

由于AM、BN分别为角ABC的两条平分线，因此有：

∠AOM=∠BON

∠AOC=∠BOC

根据正弦定理可得：

AO / sin∠AOC = CO / sin∠AOM

BO / sin∠BOC = CO / sin∠BON

因为∠AOM=∠BON，∠AOC=∠BOC，所以有：

AO / CO = BO / CO

即AO=BO，结论成立。

（3）角平分线可以分割成相似三角形

当一隻角平分线分割角时，就可以得到两个相似三角形，如下图所示：

易知，∠AOM=∠BON，且∠OAM=∠OBN，因此△AOM∽△BON。

（4）角平分线可以推导出一系列公式

角平分线可以衍生出许多重要的公式，这些公式在解决各种角度相等和三角形相似问题时十分重要，下面介绍几个常用的公式：

① 线段分割公式

如下图所示，点D位于线段BC上，且BD:DC=k，那么由角平分线的性质可得：

AD / DC = AB / BC

即AD=k·AB / (k+1)

② 角平分线定理

如下图所示，在三角形ABC中，AD是角A的一条平分线，那么有：

AB / AC = BD / CD

③ 角平分线高度定理

如下图所示，在三角形ABC中，D为AB上的点，DE垂直于BC，且AD是角A的一条平分线，那么有：

DE=BC·AB / (AB+AC)

以上公式均可以通过角平分线的性质得出，是学习角平分线的重要应用。

通过以上几点的详细了解，我们可以更好地理解角平分线的定义、性质及相关公式，从而更好地应用到实际的问题中，希望这篇文章对大家有所帮助。