希伯特及希伯特垂直规则是什么？如何运用它们来解决向量空间中的问题？

希伯特：希尔伯特是20世纪初德国数学家和物理学家，他在数学和物理学领域做出了众多杰出的贡献。希尔伯特空间是以他的名字命名的，它是一种完备的内积空间，拥有一些非常有用的性质。

希伯特垂直规则：希尔伯特垂直规则是指，在希尔伯特空间中，若两个向量垂直，它们之间的内积为0。这个规则在解决一些向量空间中的问题时非常有用。

举个例子来说，考虑一个希尔伯特空间中的子空间W和向量v。我们想要找到一个与v最相似的向量w，但是w必须属于W。这种情况下，我们可以使用希尔伯特垂直规则，找到一个与v垂直的向量u，然后将它与W中的任意向量w相加，得到一个新的向量w'。显然，w'与v更相似，因为它们之间的夹角更小。

希尔伯特垂直规则还可以用于解决一些其他的问题，例如寻找一个向量空间的正交基、计算向量的投影、以及分解矩阵等等。

所以，希尔伯特及希尔伯特垂直规则在向量空间中有着广泛的应用，既可以用于理论研究，也可以用于实际问题解决。