我想要一些高等数学竞赛的试题及答案，谢谢了
2002电子科大高等数学竞赛试题与解答
一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.
1．设 在 （ ）上连续，且为非零偶函数， ，则 （B）.
（A）是偶函数； （B）是奇函数；
（C）是非奇非偶函数； （D）可能行是奇函数，也可能行是偶函数.
2．设 在 上连续，且 ，则……………………………………（D）.
（A）在 内不必定有 使 ； （B）对于 上的一切 都有 ；
（C）在 的某个小区间上有 ；（D）在 内至少有一点使 .
3．已知当 时， 的导数 与 为等价无穷小，则 ………………………………………………………………………………………（B）.
（A）等于0； （B）等于 ； （C）等于1； （D）不存在.
4．设 是微分方程 的满足 ， 的解，则 ………………………………………………………………………………（B）.
（A）等于0； （B）等于1； （C）等于2； （D）不存在.
5．设直线L： ，平面 ： ，则它们的位置关系是 （C）.
（A） ； （B）L在 上； （C） ； （D）L与 斜交.
6．设在全平面上有 ， ，则保证不等式 成立的条件是………………………………………………………………………………（A）.
（A） ， ； （B） ， ；
（C） ， ； （D） ， .
7．设S为八面体 全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
8．设常数 ，则级数 是……………………………（A）.
（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）敛散性与 有关
9．设A、B都是 阶非零矩阵，且 ，则A和B的秩…………………………（D）.
（A）必有一个等于零；（B）都等于 ；（C）一个小于 ，一个等于 ；（D）都小于 .
10．设A是3阶可逆矩阵，且满足 ， （ 为A的伴随矩阵），则A的三个特征值是………………………………………………………………………（C）.
（A）3，3， ； （B） ， ，2； （C）3， ， ； （D） ，2，2.
二、（8分）设 在 的邻域具有二阶导数，且 ，试求 ， 及 .
[解]
由得
（或由泰勒公式得 ）
三、（8分）设 及 ，求 .
[解]
.
四、（8分）设函数 满足 与 ， ，求 ， ， （ 表示 对 的一阶偏导数，其他类推）.
[解]等式 两端对x求导,得
. 这两个等式,对x求导得
,
由已知条件得 ,故解得 ， .
五、（8分）设向量组 ， ，…， 是齐次线性方程组 的一个，向量 不是方程组 的解，即 ，试证明：向量组 ， ， ，…， .
[证]设有一组数 使得 ,即
两边左乘A,得 ,
,即 , 为 的
。故 。
六、（10分）已知三元二次型 经正交变换化为 ，又知 ，其中 ， 为A的，求此二次型的表达式.
[解]由条件知A的特征值为 ，则 ， 的特征值为 ， A*的特征值为 ，由已知 是A*关于 的特征向量，也就是 是A关于 的特征向量，设A
关于 的特征向量为 , 是实对称阵， 与X要正交， 解出 .令 ，则 ， 故
七、（8分）设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数 使曲面积分
与曲面S的形状无关.
[解]以L为边界任作两个光滑曲面 ，它们的法向量指向同一例， ，记 为 与 所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为 ，则 ，由高斯公式得 ，由 的任意性得 , 即 解线性非齐次方程得 .
八、（10分）设一球面的方程为 ，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体 的体积.
[解]设点Q为 ，则球面的切平面方程为 垂线方程为 代入 及切平面方程得 ， ，即 （P点轨迹）.化为球就座标方程得 .
.
九、（10分）设函数 在 （ ）上连续，在 可导，且 .
（1）求证： ， ，等式 成立.
（2）求极限 .
[证]（1）令 , ,由中值定理得
， .
（2）由上式变形得 ，两边取极限， ， ， ， ， .
十、（10分）设函数 在（ ， ）连续，周期为1，且 ，函数 在[0，1]上有连续导数，设 ，求证：级数 收敛.
[证]由已知条件 ，令
则 为周期为1的函数，且 ，
因此
= ， 连续、周期，
有界， ，使 ，有 ，即 ，
又 在 连续， ，使 ，有 ，
故 ，由正项级数比较法知 收敛.